前言

本篇将介绍图像变换中的霍夫变换，该文章不会对霍夫变换做太过于详细的推导，将更注重于霍夫变换的理解与应用。

本篇文章主要介绍霍夫变换直线检测。

霍夫变换概述

霍夫变换是一种在图像中寻找直线、圆形以及其他简单形状的方法，广义上的霍夫变换可以找到你想要的任何你可以描述的特征。

霍夫变换采用类似于投票的方式来获取当前图像内的形状集合，该变换由Paul Hough(霍夫)于1962年首次提出。最初的霍夫变换只能用于检测直线，经过发展后，霍夫变换不仅能够识别直线，还能识别其他简单的图形结构，常见的有圆、椭圆等。实际上，只要是能够用一个参数方程表示的对象，都适合用霍夫变换来检测。

霍夫变换直线检测原理

从笛卡尔坐标系到霍夫空间

直线变为点

在笛卡尔坐标系中，存在一条直线\(y=k_0x+b_0\)

将\(y=k_0x+b_0\)写为关于\((k,b)\)的函数： \[ b_0 = -k_0x+y \] 变换后的空间称为霍夫空间。此时笛卡尔坐标系中的直线将表示为霍夫空间中的一个点：

同时也可以从霍夫空间逆变换为笛卡尔空间。

点变为直线

在笛卡尔坐标系中，存在一个点\((x_0,y_0)\)，

通过该点的直线可表示为：\(y_0 = kx_0+b\) 。变换后为\(b = -kx_0+y_0\)。此时笛卡尔坐标系中的一个点将表示为霍夫空间中的一条直线：

两点一线的霍夫空间形式

现在在笛卡尔坐标系中，有两个点：

我们知道，两点确定一条直线。现在来思考这两个点在霍夫空间将以什么形式表示这条直线。在霍夫空间中，这两个点对应不同的直线。那么在霍夫空间中，这两条直线的交点，就是笛卡尔坐标系中对应的直线。

寻找共线的点

现在我们将点位增多，并开始在这些点中寻找共线的点以及对应的直线。

那么根据霍夫空间交点即笛卡尔空间共线的规则，右图的交点都说明共线。但是右图的交点为什么无视了两个呢？

这是因为霍夫变换后处理的基本方式是：选择由尽可能多直线汇成的点。通常情况下，我们需要设置一个阈值，当霍夫坐标系内交于某点的曲线达到了阈值，就认为在对应的极坐标系内存在(检测到)一条直线。

现在逆变换回笛卡尔坐标系，看看这两个橙色的交点代表的直线：

可以看到我们成功找到了共线的点对应的直线，但此时的霍夫变换还存在问题。

直角坐标系存在的问题

考虑下图的情况，即共线的直线垂直于x轴，此时直线的斜率k为无穷大，截距b无法取值。因此，下图的垂线无法映射至霍夫空间。为了解决该问题，我们需要将直角坐标系换位极坐标系。

极坐标参数空间下的霍夫变换

在极坐标中的直线可以表示为： \[ r = xcos\theta+ysin\theta \] 现在将极坐标的点映射至霍夫空间，霍夫空间的参数变为\(r,\theta\) ，对比图如下:

同样的规则，交点为共线。

matlab霍夫变换直线检测示例

现在使用matlab实现的霍夫变换做一个具体的示例。

检测步骤

对原图像进行边缘检测同时二值化。（关于边缘检测的相关内容将在之后的文章中更新）
二值化以后，我们就可以通过找非零点的坐标确定数据点的位置。即将像素图像变成笛卡尔坐标系的坐标集合。
对二值化后的图像进行霍夫变换。
在霍夫空间中寻找满足条件的交点。
在笛卡尔坐标系，将霍夫变换中找到的交点变成直线，再以线段的形式绘制出来。这一步待会儿会特别说明一下

示例以及代码

原图

边缘检测

clc;clear;close all;
I = imread('example3.jpg');
I = rgb2gray(I); % 灰度化
figure();imshow(I);title('原图');
BW = edge(I,'prewitt'); % 边缘检测
figure();imshow(BW);title('边缘检测');

对二值图像霍夫变换

matlab中使用hough函数对二值图像进行霍夫变换。

函数用法：Hough 变换 - MATLAB hough - MathWorks 中国

% 霍夫变换
[H,theta,rho] = hough(BW);
figure();imshow(imadjust(mat2gray(H)),[],'XData',theta,'YData',rho,...
        'InitialMagnification','fit');
xlabel('\theta');ylabel('\rho');
axis on, axis normal, hold on; % 调整图像比例，不然会很窄
title('霍夫空间映射图像');

边缘检测后的二值图像在霍夫空间上的映射图像：

寻找霍夫空间中的交点

matlab中使用houghpeaks函数在霍夫空间寻找满足条件的交点。

函数用法:Identify peaks in Hough transform - MATLAB houghpeaks - MathWorks 中国

% 在Hough矩阵中寻找前30个大于Hough矩阵中最大值0.3的交点（交点即峰值）
P = houghpeaks(H,30,'threshold',ceil(0.3*max(H(:))));
x = theta(P(:,2));y = rho(P(:,1));
plot(x,y,'s','color','red');

在笛卡尔坐标系绘制线段

matlab中使用houghlines函数将在霍夫空间寻找到的交点提取成笛卡尔坐标系的线段（注意不是直线！）

函数用法：基于 Hough 变换提取线段 - MATLAB houghlines - MathWorks 中国

% 在笛卡尔坐标系中找到这些直线
% 合并距离小于20的线段，丢弃所有长度小于2的线段
lines=houghlines(BW,theta,rho,P,'FillGap',20,'Minlength',2);
figure();imshow(BW);hold on;

max_len = 0;
for k = 1:length(lines) % 依次标出各条直线段
   xy = [lines(k).point1; lines(k).point2];
   plot(xy(:,1),xy(:,2),'LineWidth',2,'Color','blue');
 
   % 绘制线段的起点和终点
   plot(xy(1,1),xy(1,2),'x','LineWidth',2,'Color','yellow');
   plot(xy(2,1),xy(2,2),'x','LineWidth',2,'Color','red');
 
   % 确定最长线段的端点
   len = norm(lines(k).point1 - lines(k).point2);% 最长线段的长度
   if ( len > max_len)
      max_len = len;
      xy_long = xy;
   end
end

关于houghlines的补充说明

我最开始没搞清啊，就觉得很奇怪：找到的线明显比交点多啊，这是为什么？

然后仔细研究才发现它是把直线拆成了很多根线段，现在我们只找一个交点就很容易看清楚了：

可能图有点小，但是很明显可以看到它把一条直线拆成了两个线段。

完整代码

clc;clear;close all;
I = imread('example3.jpg');
figure();imshow(I);title('原图');
I = rgb2gray(I); % 灰度化
BW = edge(I,'Prewitt'); % 边缘检测
figure();imshow(BW);title('边缘检测');

% 霍夫变换
[H,theta,rho] = hough(BW);
figure();imshow(imadjust(mat2gray(H)),[],'XData',theta,'YData',rho,...
        'InitialMagnification','fit');
xlabel('\theta');ylabel('\rho');
axis on, axis normal, hold on; % 调整图像比例，不然会很窄
title('霍夫空间映射图像');

% 在Hough矩阵中寻找前30个大于Hough矩阵中最大值0.5峰值
P = houghpeaks(H,30,'threshold',ceil(0.3*max(H(:))));
x = theta(P(:,2));y = rho(P(:,1));
plot(x,y,'s','color','red');

% 在笛卡尔坐标系中找到这些直线
% 合并距离小于20的线段，丢弃所有长度小于2的线段
lines=houghlines(BW,theta,rho,P,'FillGap',20,'Minlength',2);
figure();imshow(BW);hold on;

max_len = 0;
for k = 1:length(lines) % 依次标出各条直线段
   xy = [lines(k).point1; lines(k).point2];
   plot(xy(:,1),xy(:,2),'LineWidth',2,'Color','blue');
 
   % 绘制线段的起点和终点
   plot(xy(1,1),xy(1,2),'x','LineWidth',2,'Color','yellow');
   plot(xy(2,1),xy(2,2),'x','LineWidth',2,'Color','red');
 
   % 确定最长线段的端点
   len = norm(lines(k).point1 - lines(k).point2);% 最长线段的长度
   if ( len > max_len)
      max_len = len;
      xy_long = xy;
   end
end

来个成果集合图：

到这里霍夫变换直线检测就写完了。但是霍夫变换的应用明显不止这么点，我原本想把圆环检测也写了，奈何时间确实不够，感兴趣的话就只能自行拓展啦。

【matlab图像处理笔记4】【图像变换】（三）图像的霍夫变换

推荐阅读

前言