前言

本系列为傅里叶系列公式推导学习笔记，本文的参考教程如上所示。

本文将推导从三角函数正交性到傅里叶级数再到傅里叶变换整个过程，如有错误欢迎指出。

本文将不会介绍傅里叶变换的具体含义和应用，只聚焦于公式推导。在开始之前，请确保已经了解傅里叶变换是什么，有什么用。相关文章可以参考：傅里叶分析之掐死教程（完整版）

三角函数的正交性

这部分将介绍整个傅里叶变换的数学基础——三角函数的正交性。

简单解释一下正交

对于两个向量，正交意味着相互垂直，二者相乘为0。 \[ \vec a\cdot\vec b = a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n = 0 \]

拓展到连续函数后，当两个函数积分等于0的时候，我们说这两个函数正交。

$a = f(x)$

$b=g(x)$

若$f(x)$与$g(x)$ 正交，有： \[ a\cdot b=\int_{x_0}^{x_1}f(x)g(x)dx = 0 \]

三角函数正交性定义

三角函数系：

$\{sin(0x),cos(0x),sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...,sin(nx)\}$

上述表示也可简化为

$\{1,sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...,sin(nx)\}$

对于上述集合，有正交：

$\int_{-\pi}^\pi sin(nx)cos(mx)dx = 0$ ,当$n=m$和$n\neq m$ 时均成立。

$\int_{-\pi}^\pi cos(nx)cos(mx)dx = 0,n\neq m$。

证明

已知： \[ \begin{split} &sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB\\ &sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB\\ &cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB\\ &cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB \end{split} \]

\[ \begin{split} \int_{-\pi}^\pi sin(nx)cos(mx)dx & = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}[sin(n-m)x+sin(n+m)x]dx \\ & = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}[sin(n-m)x+sin(n+m)x]dx \\ & = \frac{1}{2}[-\frac{1}{n-m}cos(n-m)x|_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{n+m}cos(n+m)x|_{-\pi}^{\pi}] \\ & = 0+0 \\ & = 0 \end{split} \]

当$m\neq n$时： \[ \begin{split} \int_{-\pi}^\pi cos(nx)cos(mx)dx & = \int_{-\pi}^\pi\frac{1}{2}[cos(n-m)x+cos(n+m)x]dx \\ & = \int_{-\pi}^\pi\frac{1}{2}[cos(n-m)xdx+cos(n+m)xdx] \\ & = \frac{1}{2}[\frac{1}{n-m}sin(n-m)x|_{-\pi}^{\pi}+\frac{1}{n+m}sin(n+m)x|_{-\pi}^{\pi}] \\ & = 0+0 \\ & = 0 \end{split} \] 当$m=n\neq0$时： \[ \begin{split} \int_{-\pi}^\pi cos(nx)cos(mx)dx & = \int_{-\pi}^\pi\frac{1}{2}(1+cos2mx)dx \\ & = \frac{1}{2}(\int_{-\pi}^\pi1dx+0) \\ & = \frac{1}{2}x|_{-\pi}^{\pi} \\ & = \pi \end{split} \] 当$m=n=0$时： \[ \begin{split} \int_{-\pi}^\pi cos(nx)cos(mx)dx & = \int_{-\pi}^\pi1dx \\ & = 2\pi \end{split} \]

展开周期为2pi的傅里叶级数

看过傅里叶变换原理后，可以知道，任意一个周期为$2\pi$ 的波形都可以看作是许多个波形的叠加。

即对于函数$f(x) = f(x+2\pi)$ ，有： \[ \begin{split} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_ncosnx+\sum_{n=0}^{\infty}b_nsinnx \end{split} \] 上式也可写为： \[ \begin{split} f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx+b_nsinnx) \end{split} \] 两式的区别在于单独提出了$a_0$，接下来会解释为什么要这样提取，同时展开$a_0,a_n,b_n$。

公式变换与展开

展开$a_0$ \[ \begin{split} f(x) & = \sum_{n=0}^{\infty}a_ncosnx+\sum_{n=0}^{\infty}b_nsinnx \\ & = a_0cos0x+\sum_{n=1}^{\infty}a_ncosnx+b_0sin0x+\sum_{n=1}^{\infty}b_nsinnx \\ & = a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_ncosnx+\sum_{n=1}^{\infty}b_nsinnx \\ \end{split} \] 两边同时求积分： $$ \[\begin{split} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx & = \int_{-\pi}^{\pi}a_0dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}a_ncosnxdx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}b_nsinnxdx \\ & = \int_{-\pi}^{\pi}a_0dx \end{split}\]

简单说一下后两项为什么都为0：
先从求和里单独拿出一项，将$a_n$提到求积前面，对后面的积分为0。于是所有项求和为0.

\[ \begin{split} & \int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx = \int_{-\pi}^{\pi}a_0dx = 2\pi a_0 \\ & a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \end{split} \]

为了使得“更好看一点”，就把$a_0$再提了一个$\frac{1}{2}$出来，于是才有了： \[ \begin{split} f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx+b_nsinnx) \end{split} \] 此时$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$

展开$a_n$

两边同时乘$cosmx$，再求积分 \[ \begin{split} & f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_ncosnx+\sum_{n=1}^{\infty}b_nsinnx \\ & f(x)cosmx = \frac{a_0}{2}cosmx+\sum_{n=1}^{\infty}a_ncosnx~cosmx+\sum_{n=1}^{\infty}b_nsinnx~cosmx \\ & \int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosmx~dx = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}cosmx~dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}a_ncosnx~cosmx~dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}b_nsinnx~cosmx~dx \\ & \int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosmx~dx =0+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}a_ncosnx~cosmx~dx+0 \\ & \int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosmx~dx = \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}a_ncosnx~cosmx~dx \\ \end{split} \] 根据三角函数的正交性，有$\int_{-\pi}^\pi cos(nx)cos(mx)dx = 0,n\neq m$。

因此只有当$n=m$ 时，右边才可以被保留下来，其他情况均为0。

于是： \[ \begin{split} & \int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosmx~dx = \int_{-\pi}^{\pi}a_ncosnx~cosmx~dx,n=m\\ & \int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnx~dx = \int_{-\pi}^{\pi}a_ncos^2nx~dx \\ & \int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnx~dx = a_n\int_{-\pi}^{\pi}cos^2nx~dx \\ & \int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnx~dx = a_n\pi \\ & a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnx~dx \end{split} \] 展开$b_n$

使用同样的方法，不同点只是两边同时乘$sinmx$。 \[ b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnx~dx \] 于是我们可以得到一个周期为$2\pi$的函数的傅里叶级数展开：

最终结果

对于函数$f(x) = f(x+2\pi)$ ，有： \[ \begin{split} f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx+b_nsinnx) \end{split} \] 其中， \[ \begin{split} & a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \\ & a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnx~dx \\ & b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnx~dx \\ \end{split} \] 那么，如果将周期为$2\pi$ 推广为周期为$2L$的函数，会有什么变化呢？

推广为周期为2L的函数适用的傅里叶级数

现在有周期为2L的函数：$f(t) = f(t+2L)$。

如果要想使用刚才我们推出的周期为$2\pi$ 的傅里叶级数，可以使用换元。

换元处理

令 \[ \begin{split} & x = \frac{\pi}{L}t \\ & t = \frac{L}{\pi}x \end{split} \] 那么$f(t) = f(\frac{L}{\pi}x)$，令$f(\frac{L}{\pi}x) = g(x)$。并且我们可以算出，当$t=2L$时，$x = 2\pi$ 。

于是对于$g(x)$ ，它的周期为$2\pi$ ，适用刚才的傅里叶级数展开： \[ g(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx+b_nsinnx) \] 其中， \[ \begin{split}& a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \\& a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnx~dx \\& b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnx~dx \\\end{split} \] 代入$x = \frac{\pi}{L}t$: \[ \begin{split} & cosnx = cos\frac{n\pi}{L}t \\ & sinnx = sin\frac{n\pi}{L}t \\ & g(x) = f(t) \\ & \int_{-\pi}^{\pi}dx = \int_{-L}^{L}d\frac{\pi}{L}t \\ & \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}dx = \frac{1}{L}\int_{-L}^Ldt \end{split} \]

最终结果

于是对于周期为2L的函数的傅里叶级数展开： \[ f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos\frac{n\pi}{L}t+b_nsin\frac{n\pi}{L}t) \] 其中： \[ \begin{split} & a_0 = \frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(t)dt \\ & a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(t)cos\frac{n\pi}{L}t~dt \\ & b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(t)sin\frac{n\pi}{L}t~dt \\ \end{split} \]

美化公式

一般在工程中，时间t从0开始，周期$T = 2L$,我们再令$\omega = \frac{2\pi}{T}$ 。

因为 \[ \int_{-L}^Ldt = \int_0^{2L}dt = \int_0^Tdt \] 于是对于$f(t) = f(t+T)$, \[ f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncoswt+b_nsinwt),w = \frac{2\pi}{T} \] 其中， \[ \begin{split} & a_0 = \frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(t)dt \\ & a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(t)coswt~dt \\ & b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(t)sinwt~dt \\ \end{split} \] 联系物理上的频率，傅里叶级数一下就变得优美起来。不过还不够，我们需要将它推广到更普遍的情况——没有周期的函数。不过在此之前，我们需要做一件非常重要的事：将傅里叶级数表示为复数形式。

将傅里叶级数表示为复数形式

这部分非常非常重要，将是我们下一步推导傅里叶变换的基础。我们将会把上一小节中求到的$f(t)$ 变换为复数形式。在变换时会用到欧拉公式，这里先简单介绍一下欧拉公式。

欧拉公式

关于欧拉公式的详细推导请参考连接：【工程数学基础】6_SinX=2? 复变函数欧拉公式_

欧拉公式：$e^{i\theta} = cos\theta+isin\theta$

由欧拉公式可进一步推出： \[ \begin{split} & cos\theta = \frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta}) \\ & sin\theta = - \frac{1}{2}i(e^{i\theta}-e^{-i\theta}) \end{split} \]

变换公式

将欧拉公式推导公式代入$f(t)$中： \[ \begin{split} f(t) & = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncoswt+b_nsinwt) \\ & = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{a_n-ib_n}{2}e^{inwt}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-inwt}) \\ & = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n-ib_n}{2}e^{inwt}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-inwt} \end{split} \] 先观察最后一项

将n换元为-n： \[ \begin{split} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-inwt} = \sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}e^{inwt} \end{split} \] 观察第一项 \[ \frac{a_0}{2} = \sum_{n=0}^0\frac{a_0}{2}e^{inwt} \] 于是$f(t)$进一步变为 \[ \begin{split} f(t) & = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n-ib_n}{2}e^{inwt}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-inwt} \\ & = \sum_{n=0}^0\frac{a_0}{2}e^{inwt}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n-ib_n}{2}e^{inwt}+\sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}e^{inwt} \\ & = \sum_{-\infty}^{\infty}C_ne^{inwt} \end{split} \] 其中， \[ C_n = \left\{ \begin{aligned} &\frac{a_0}{2},n=0\\ &\frac{a_n-ib_n}{2},n=1,2,3,4,...\\ &\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2},n = -1,-2,-3,-4,... \end{aligned} \right. \]

计算C_n

将以下公式代入$C_n$ 。 \[ \begin{split} & a_0 = \frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(t)dt \\ & a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(t)coswt~dt \\ & b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(t)sinwt~dt \\ \end{split} \] 当$n=0$时： \[ \begin{split} C_0 & = \frac{a_0}{2} = \frac{1}{2}\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt \\ & = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt \\ & = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}e^0f(t)dt \end{split} \] 当$n>0$时: \[ \begin{split} C_{n=1,2,3,...} & = \frac{1}{2}(\frac{2}{T}\int_0^Tf(t)cosnwt~dt-i\frac{2}{T}\int_0^Tf(t)sinnwt~dt) \\ & = \frac{1}{T}\int_0^Tf(t)(cosnwt-isinnwt)dt \\ & = \frac{1}{T}\int_0^Tf(t)[cos(-nwt)+isin(-nwt)]dt\\ & = \frac{1}{T}\int_0^Tf(t)e^{-inwt}dt \end{split} \]

注：上述第三步到第四步的变换用的欧拉公式。

当$n<0$时： \[ \begin{split} C_{n=-1,-2,-3,...} & = \frac{1}{2}[\frac{2}{T}\int_0^Tf(t)cos(-nwt)~dt+i\frac{2}{T}\int_0^Tf(t)sin(-nwt)~dt] \\ & = \frac{1}{T}\int_0^Tf(t)[cos(-nwt)+isin(-nwt)]dt\\ & = \frac{1}{T}\int_0^Tf(t)e^{-inwt}dt \end{split} \] 于是，我们发现三种情况的$C_n$ 都可以用一个式子表示，于是我们得出了傅里叶级数的复数形式。

傅里叶级数的复数形式

现有周期为T的函数：$f(t) = f(t+T)$

它的傅里叶级数（复数形式）为： \[ \begin{split} & f(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}C_ne^{inwt} \\ & C_n = \frac{1}{T}\int_0^Tf(t)e^{-inwt}dt \end{split} \] 至此，傅里叶级数推导完毕。接下来，我们将开始寻找非周期函数的傅里叶变换。

傅里叶变换

终于，我们来到了最后一部分。

一个非周期函数可以理解为，一个周期为无穷的函数。

从求和转为积分

这部分原理涉及时域转频域的图像，最开始推荐的那篇原理文章已经详细解释过。这里就不细说了。将$C_n$ 投射到图像上，会发现当n越多，$C_n$ 就靠的越近。当n趋近无穷，$C_n$会连成一块儿。于是求和可以变成积分。

如果这部分公式没看懂，建议去看参考教程的第五部分。 $$ \[\begin{split} & f(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)e^{-inwt}dte^{inwt} \\ & f(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}\frac{\triangle w}{2\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-inwt}dte^{inwt} \\ & f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iwt}dt~e^{iwt}dw \end{split}\]

傅里叶变换公式

我们令中间那部分为$F(t)$,它就是傅里叶变换的公式。 \[ F(t) =\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iwt}dt \]

傅里叶逆变换公式

然后原来的公式就变成了： \[ f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(w)~e^{iwt}dw \] 这个公式就是傅里叶逆变换公式。

至此，傅里叶变换和傅里叶逆变换公式已全部推导完毕。

【从FT到DFT和FFT】（一）从傅里叶级数到傅里叶变换的详细公式推导

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